Koelen van metalen buizen

Introductie¶

In het boek wordt in hoofdstuk 2 geschreven over warmtetransport. Dat kan op drie manieren plaatsvinden. Het is niet eenvoudig om deze drie verschillende vormen uit elkaar te houden. In het vak ‘Fysische Transportverschijnselen’, dat in het tweede jaar wordt gegeven, zal je zien dat de natuurkunde achter deze verschillende vormen van warmtetransport ook best ingewikkeld is.

In deze proef proberen we een inschatting te maken van de ordegrootte van de verschillende vormen van warmtetransport bij de koeling van een metalen buis aan lucht.

Theorie¶

Volgens Newton’s wet van afkoeling is de snelheid waarmee een voorwerp afkoelt evenredig met het verschil in de temperatuur van het voorwerp ( $T$ ) en de omgeving ( $T_0$ ). We kunnen dit schrijven als:

\dot{Q} = -hA(T(t) - T_0),

(1)

waarin

$\dot{Q}$ de warmtestroom in $\mathrm{W}$ ,
$A$ het oppervlak waardoor koeling optreedt in $\mathrm{m}^2$ ,
$h$ de warmteoverdrachtscoëfficiënt in $\mathrm{W/(m^2 K)}$ .

Dit levert de differentiaalvergelijking

C\dot{T} = -hA(T(t) - T_0),

(2)

met $C$ de warmtecapaciteit in $\mathrm{J/kg}$ . Herschrijven met $\tau = \frac{C}{hA}$ levert:

-\tau\dot{T} = T(t) - T_0,

(3)

met als oplossing:

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}.

(4)

We kunnen hieruit dus concluderen dat $\tau$ de karakteristieke tijdsduur is waarin de temperatuur van de buis een factor $\text{e}$ verlaagd ten opzichte van de omgevingstemperatuur.

{exercise} Oplossing DV controleren :label: ex-dvopl Controleer bovenstaande door vergelijking $T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}$ te substitueren in $-\tau\dot{T} = T(t) - T_0.$

T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau} \Rightarrow T(t) = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau} + _0

(5)

\dot T(t) = \frac{d}{dt}[(T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}] = -\frac{1}{\tau}(T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}

(6)

$$ \left. \begin{array}{l} T(t) - T_0 = (T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau}\ \dot T(t) = -\frac{1}{\tau}(T(0) - T_0)\text{e}^{-t/\tau} \end{array} \right}

\dot T(t) = -\frac{1}{\tau} (T(t) - T_0) \Rightarrow -\tau\dot{T} = T(t) - T_0. $$

We zijn hier voor het gemak uitgegaan van een $h$ die onafhankelijk is van de temperatuur. We weten echter dat warmtetransport door straling niet lineair gaat, maar als

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T^4 - T_0^4).

(7)

Voor kleine temperatuurverschillen ( $\Delta T = T - T_0$ ) is dit te vereenvoudigen tot

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \approx \epsilon \sigma 4A T_0^3 \Delta T.

(8)

Zolang $\Delta T$ dus relatief klein is ten opzichte van $T_0$ , kunnen we $h$ dus inderdaad als een constante beschouwen.

{exercise} Uitwerken :label: ex_uitw

Laat zien dat bovenstaande geldt door eerst $(T_0+\Delta T)^4$ uit te schrijven, te substitueren en dan te bedenken dat $\Delta T$ klein is en $\Delta T^2$ dus nog kleiner.

{solution} ex_uitw

(T_0+\Delta T)^4 = (T_0+\Delta T)(T_0+\Delta T)(T_0+\Delta T)(T_0+\Delta T)

(9)

T_0^4 + 4\,T_0^3 \Delta T + 6\,T_0^2 \Delta T ^2 + 4\,T_0 \Delta T ^3 + \Delta T ^4

(10)

\approx T_0^4 + 4\,T_0^3 \Delta T

(11)

$$ \left. \begin{array}{l} (T_0+\Delta T)^4 \approx T_0^4 + 4,T_0^3 \Delta T\ \dot{Q}_s = \epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4) \end{array} \right}

\dot{Q}_s = \epsilon \sigma A (T_0^4 + 4,T_0^3 \Delta T - T_0^4) = \epsilon \sigma A 4,T_0^3 \Delta T $$

{exercise} :label: ex_fout Hoe groot is de fout in het warmtetransport door straling die we maken voor het temperatuurbereik waarin we deze proef uitvoeren?

{solution} ex_fout De relatieve fout is

\mathrm{fout} = \frac{\dot{Q}_{\mathrm{exact}}- \dot{Q}_{\mathrm{lin}}}{\dot{Q}_{\mathrm{exact}}}

(12)

\mathrm{fout} = \frac{\epsilon \sigma A (4\,T_0^3 \Delta T + 6\,T_0^2 \Delta T ^2 + 4\,T_0 \Delta T ^3 + \Delta T ^4) - \epsilon \sigma A 4\,T_0^3 \Delta T}{\epsilon \sigma A ((T_0+\Delta T)^4 - T_0^4)}

(13)

\mathrm{fout} \approx \frac{6\,T_0^2 \Delta T ^2}{4\,T_0^3 \Delta T} = \frac{3}{2}\frac{\Delta T}{T_0}

(14)

Methode en materialen¶

Ontwerp¶

Materialen¶

standaard met twee thermisch geïsoleerde grijparmen
metalen buis me bijpassende dop
thermometer (infrarood of thermokoppel)
knijper voor bevestigen thermokoppel op buis
warm water tussen 60 en 80 graden Celsius
(evt) schuifmaat voor bepalen dimensies buis

Procedure¶

Stop de buis in warm water en laat deze gedurende een paar minuten zitten om thermisch evenwicht te bereiken. Beantwoord ondertussen de volgende vragen met behulp van de tabel:

Materiaal	$\rho$ in $\text{kg/m}^3$	$C$ in $\text{J} / \text{(kg K)}$
messing	8,73E3	3,8E2
aluminium	2,7E3	8,8E2
staal	7,9E3	4,7E2

Antwoorden: buitenoppervlak = 0.01665 #hoogte is 15 cm, diameter 4.8 cm, dikte 1.0 mm warmtecapaciteit = 3.8e2 #J/K omgevingstemperatuur = 21.4 #graden C

Pak de buis op met thermisch isolerende handschoenen (of direct met de geïsoleerde grijparm) en plaats deze in de grijparm met isolatieschoentjes. Positioneer de thermometer voor optimale temperatuurlezing. Meet als functie van tijd hoe lichaam koelt. Wacht voldoende lang zodat je de karakteristieke tijd $\tau$ voor de afkoeling kan bepalen.

Doe dit voor twee of drie configuraties:

De buis met de as in verticale richting en afgesloten met dop.
De buis met de as in verticale richting zonder dop.
(alleen bij voldoende tijd) De buis met de as in horizontale richting en afgesloten met dop.

Data analyse¶

Bepaal de karakteristieke tijd $\tau$ waarin de temperatuur van buis afneemt. Deze kan verschillend zijn voor de drie bovenstaande configuraties.
Bereken hieruit de warmteoverdrachtscoëfficiënt.
Vergelijk je resultaten met je groepsgenoten die een vergelijkbare buis hebben gemeten (dit kan klassikaal).
Welk deel van de warmteoverdrachtscoëfficiënt verwacht je dat gegeven is door de geleiding, straling en convectie? Onderbouw je redenering.

Resultaten¶

#importeren van benodigde libraries
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from scipy.optimize import curve_fit 

#Variabelen met d erachter zijn metingen met dop
#In dit experiment is een cilinder van messing gebruikt

#exponentiële afkoelfunctie
def exp_func(t, A, tau, T_omg):
    # A is verschiltemperatuur met omgeving aan start
    # tau is de karakteristieke tijd voor de koeling
    # T_omg is de omgevingstemperatuur
    return (A * np.exp(-t/tau) + T_omg)  

#constanten
buitenoppervlak = 0.01665 #hoogte is 15 cm, diameter 4.8 cm, dikte 1.0 mm
warmtecapaciteit = 3.8e2 #J/K
omgevingstemperatuur = 21.4 #graden C

#gemeten gegevens
#zonder dop
times_o = np.linspace(0, 850, 86)
temps_o = np.array([47.9, 47.0, 46.4, 45.5, 44.8, 43.8, 43.1, 42.4, 42.2, 41.7, 41.2, 40.7, 40.4, 39.5, 38.6, 38.1, 37.9, 37.5,37.0, 
                    36.8, 36.5, 36.1, 35.6, 35.1, 34.8, 34.8, 34.5, 34.3, 33.7, 33.7, 33.5, 33.2, 32.8, 32.4, 32.0, 31.9, 31.6, 31.5, 31.2, 31.1, 
                    31.0, 30.7, 30.1, 30.6, 30.5, 29.7, 30.0, 29.4, 29.5, 29.4, 29.3, 29.4, 29.0, 29.1, 29.0, 28.6, 28.4, 28.3, 28.2, 28.1, 28.3, 28.0, 
                    28.3, 27.8, 27.6, 27.5, 27.5, 27.5, 27.5, 
                    27.4, 27.2, 27.2, 27.1, 27.1, 26.9, 26.8, 26.8, 26.8, 26.7, 26.7, 26.7, 26.6, 26.6, 26.6, 26.6, 26.5])

#met dop
times_d = np.linspace(0, 490, 50)
temps_d = np.array([51.5, 51.1, 50.0, 49.7, 48.9, 48.4, 47.5, 47.2, 46.9, 46.5, 46.1, 45.0, 46.7, 46.5, 44.8, 44.4, 43.9, 43.4, 42.1, 41.8, 41.0, 40.4, 40.2, 40.0, 39.5, 39.1, 38.7, 38.1, 
                    37.8, 37.5, 37.3, 37.1, 36.9, 36.7, 36.6, 36.4, 36.2, 36.1, 35.8, 35.6, 35.2, 35.1, 36.2, 35.5, 34.9, 34.8, 34.5, 34.0, 33.8, 33.0])

#curve fitting
popt, pocv = curve_fit(exp_func, times_o, temps_o, p0=[26.5, 100, 20], maxfev=5000)
poptd, pocvd = curve_fit(exp_func, times_d, temps_d, p0=[30.1, 100, 20], maxfev=5000)

A_exp, tau_exp, T_omg_exp = popt
A_expd, tau_expd, T_omg_expd = poptd

y_fit = exp_func(times_o, *popt)

y_fitd = exp_func(times_d, *poptd)

#plotten
plt.figure()
plt.xlabel('Time [s]')
plt.ylabel('Temperature [K]')

plt.plot(times_o, temps_o, 'bo', label='measurement')
plt.plot(times_o, y_fit, 'r-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_exp, tau_exp, T_omg_exp))

plt.plot(times_d, temps_d, 'k.', label='measurement met dop')
plt.plot(times_d, y_fitd, 'g-', 
         label='$T = %0.2f e^{-t/%0.4f} + %0.2f$' % (A_expd, tau_expd, T_omg_expd))

plt.legend()

plt.show()

#berekeningen warmteoverdrachtscoëfficiënt
h_exp = (warmtecapaciteit) / (tau_exp * buitenoppervlak)
h_expd = (warmtecapaciteit) / (tau_expd * buitenoppervlak)
 
#resultaten weergeven
print(f' de warmteoverdrachtscoëfficiënt zonder dop =  {h_exp} W/(m^2 K)') #warmteoverdrachtscoëfficiënt in W/m^2 K
print(f' de warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop  = {h_expd} W/(m^2 K) ')

 de warmteoverdrachtscoëfficiënt zonder dop =  79.53434265133983 W/(m^2 K)
 de warmteoverdrachtscoëfficiënt met dop  = 62.70681827597627 W/(m^2 K)

Discussie en conclusie¶

Uit dit experiment komt een geloofwaardige waarde van het warmteoverdrachtscoëfficiënt. Deze waarde kan over het algemeen variëren, aangezien het afhankelijk is van het buitenoppervlak van het materiaal, maar zou als het om hetzelfde object gaat redelijk hetzelfde blijven. Ook is het logisch dat de gevonden waarde met dop lager is, aangezien de buis dan langer moet afkoelen. Dit resulteert in een hogere waarde onder de breuk in de formule, en dus een lagere waarde voor h. Mogelijke oorzaken voor afwijkingen in dit experiment zijn gebaseerd op menselijke meetfouten; zo was het bijvoorbeeld moeilijk om het meetapparaat goed aan de buis te zetten en zorgde dit vaak voor onlogische verschuivingen in temperatuur. Ook werd dit experiment zodanig uitgevoerd dat het moeilijk was om de tijd juist bij te houden, wat eventuele verdere inconsistenties heeft veroorzaakt.

In conclusie heeft dit experiment geleid tot een geloofwaardige waarde van het warmteoverdrachtscoëfficiënt voor een messing buis. Ook is de waarde met dop zoals verwacht een stuk lager dan de waarde zonder dop. Onnauwkeurigheden in dit experiment zijn veroorzaakt door menselijke meetfouten.